Question

（1）證明：f（x）=x⁴在（-∞，+∞）上不具有單調(diào)性．
（2）已知g(x)=

ax+1

x+2

在（-2，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)樽C明函數(shù)不單調(diào)，所以只要存在不滿足單調(diào)性的變量即可，所以可用特殊值法來(lái)驗(yàn)證．
（2）可由單調(diào)性定義來(lái)研究，先設(shè)任意x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂則有g(x1)-g(x2)=

(x1-x2)(2a-1)

(x1+2)(x2+2)

＞0分析求解．

解答：解：（1）證明：∵定義域?yàn)椋?∞，+∞）
取x₁=1，x₂=2，則x₁＜x₂
又∵f（1）=1，f（2）=8，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定義域上不是減函數(shù)，
取x₃=-2，x₄=1，則x₃＜x₄
又∵f（-2）=8，f（1）=1∴f（x₃）＞f（x₄）
即x₃＜x₄時(shí)，f（x₃）＜f（x₄）
∴f（x）在定義域上不是增函數(shù)
綜上：f（x）在定義域上不具有單調(diào)性．
（2）設(shè)任意x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂
則g(x1)-g(x2)=

(x1-x2)(2a-1)

(x1+2)(x2+2)

∵x₁＞-2，x₂＞-2，x₁＜x₂
∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，x₁-x₂＜0
∵g（x）是（-2，+∞）的減函數(shù)
∴g（x₁）＞g（x₂）恒成立
即g（x₁）-g（x₂）＞0恒成立
∴A中必有2a-1＞0，
∴a＞

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不具有單調(diào)性，可用特殊值法，若證明單調(diào)性則必須具有一般性．