Question

已知數(shù)列l(wèi)og₂（a_n-1）（n∈N*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₂=5，則

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可先求等差數(shù)列的公差d，及首項log₂（a₁-1），代入等差數(shù)列的通項公式可求log₂（a_n-1），進而可求得a_n=2ⁿ+1，a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，代入等比數(shù)列的前n項和公式可求

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

，利用等比數(shù)列的前n項和公式可求答案．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d=log₂（a₂-1）-log₂（a₁-1）=1
∴l(xiāng)og₂（a_n-1）=log₂2+（n-1）×1=n
∴a_n=2ⁿ+1
則a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 [1-( 1 2 )]n

1- 1 2

=1-

1

2n

故答案為：1-

1

2n

點評：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項及和的求解一直是高考在數(shù)列部分的考查重點與熱點之一，要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識，具備一定的計算能力，才可以解決本節(jié)的問題．