Question

【題目】如圖在棱錐中， 為矩形， 面， ， 與面成角， 與面成角.

（1）在上是否存在一點(diǎn)，使面，若存在確定點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）法一：要證明PC⊥面ADE，只需證明AD⊥PC，通過(guò)證明即可，然后推出存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)．

法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣XYZ，設(shè)，通過(guò)得到，即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)．

（2）由（1）知求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積．求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

試題解析：

（Ⅰ）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)

法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－XYZ，

由題意知PD＝CD＝1，

，設(shè)， ，

,

由，得，

即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，

， ， ，

設(shè)面ADE的法向量為，面PAE的法向量為

由的法向量為得， 得

同理求得 所以

故所求二面角P－AE－D的余弦值為.