Question

已知橢圓+=1經(jīng)過點(diǎn)P（，），離心率是，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且別直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F做OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，證明線段ON長(zhǎng)是定值，并求出定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓+=1離心率是，設(shè)橢圓方程設(shè)為，把點(diǎn)P（，）代入，得，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）以O(shè)M為直徑的圓的圓心是（1，），半徑r=，方程為，由以O(shè)M為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，知，由此能求出所求圓的方程．
（3）設(shè)N（x，y），點(diǎn)N在以O(shè)M為直徑的圓上，所以x²+y²=2x+ty，又N在過F垂直于OM的直線上，所以2x+ty=2，由此能求出ON．
解答：解：（1）∵橢圓+=1經(jīng)過點(diǎn)P（，），
離心率是，
∴橢圓方程設(shè)為，
把點(diǎn)P（，）代入，
得，
解得4k²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）以O(shè)M為直徑的圓的圓心是（1，），
半徑r=，
方程為，
∵以O(shè)M為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，
∴圓心（1，）到直線3x-4y-5=0的距離d=，
∴，
解得t=4，
∴所求圓的方程是（x-1）²+（y-2）²=5．
（3）設(shè)N（x，y），
點(diǎn)N在以O(shè)M為直徑的圓上，
所以x（x-2）+y（y-t）=0，
即：x²+y²=2x+ty，
又N在過F垂直于OM的直線上，
所以，
即2x+ty=2，
所以．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．