Question

已知二次函數(shù).
（1）若對(duì)任意、，且，都有，求證：關(guān)于的方程
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且必有一個(gè)根屬于；
（2）若關(guān)于的方程在上的根為，且，設(shè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先構(gòu)造新函數(shù)，利用證明方程
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后利用存在定理證明方程必有一個(gè)根屬于，即利用來證明；（2）將的代入方程得到的表達(dá)式，結(jié)合證明.
試題解析：（1）構(gòu)造函數(shù)

，
由于函數(shù)為二次函數(shù)，所以，
對(duì)于二次函數(shù)而言，


，
若，則有且有，從而有，這與矛盾，
故，故方程有兩個(gè)不相等，
由于，
，
所以，
由零點(diǎn)存在定理知，方程必有一個(gè)根屬于；
（2）由題意知，化簡(jiǎn)得，
即，則有，，
由于，則，故，即.