Question

已知二項(xiàng)式（2+x）ⁿ的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)為160，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．

Answer 1

∵（2+x）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

rn

2n-rxr
令r=3可得，T4=

C

3n

2n-3x3
∴

C

3n

2n-3=160
即

n(n-1)(n-2)

6

2n-3=160
∴n（n-1）（n-2）•2^n-3=2⁶×5×3=960
結(jié)合式子兩邊的特點(diǎn)可知，n（n-1）（n-2）一定是5的倍數(shù)
當(dāng)n=5時(shí)，左邊60•2³≠2⁶×15=右面，舍去
當(dāng)n-1=5即n=6時(shí)，左邊=120•2³=960=右面，符合題意
當(dāng)n-2=5即n=7時(shí)，左邊=210×2⁴≠960，不符合題意
綜上可得，n=6
令r=0可得，常數(shù)項(xiàng)為

C

0n

2n=2⁶=64，
故答案為64