Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的a的取值范圍；
（2）若x=3是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求f（x）在R上的極大值與極小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-ax²+3x為在R上的單調(diào)增函數(shù)，知f′（x）=3x²-2ax+3x≥0對(duì)于x∈R恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)的a的取值范圍．
（2）f′（x）=3x²-2ax+3，當(dāng)x=3時(shí)有極值，所以f′（3）=0，解得a=5．由此能求出f（x）在R上的極大值與極小值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax²+3x為在R上的單調(diào)增函數(shù)，
則f′（x）=3x²-2ax+3x≥0對(duì)于x∈R恒成立，
所以△=4a²-4×9≤0，解得-3≤a≤3．
（2）f′（x）=3x²-2ax+3，
∵當(dāng)x=3時(shí)有極值，所以f′（3）=0，即27+3-2a×3=0，
解得a=5．
這時(shí)，f′（x）=3x²-10x+3，
令f′（x）=3x²-10x+3=0，得x1=

1

3

，或x₂=3．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表可知：f（x）的極大值為f（

1

3

）=(

1

3

)3-5×(

1

3

)2+3×

1

3

=

13

27

，
f（x）的極小值為f（3）=3³-5×3²+3×3=-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．