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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          設函數f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2．
          （I）求a，b的值；
          （II）證明：
          12
          f(x)≤x-1          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（I）由f（x）=x+ax2+blnx，知f′(x)=1+2ax+
          b
          x
          ，由y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2，知
          f(1)=1+a=0
          f′(1)=1+2a+b=2
          ，由此能求出a，b．
          （II）f（x）的定義域為（0，+∞），由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，則g′(x)=-1-2x+
          3
          x
          =-
          (x-1)(2x+3)
          x
          ，由此能證明
          1
          2
          f(x)≤x-1          ．
          解答：解：（I）∵f（x）=x+ax2+blnx，
          ∴f′(x)=1+2ax+
          b
          x
          ，
          ∵y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2，
          ∴
          f(1)=1+a=0
          f′(1)=1+2a+b=2
          ，
          解得a=-1，b=3．
          （II）f（x）的定義域為（0，+∞），
          由（I）知f（x）=x-x2+3lnx，
          設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，
          則g′(x)=-1-2x+
          3
          x
          =-
          (x-1)(2x+3)
          x
          ，
          當0＜x＜1時，g（x）′＞0；當x＞1時，g′（x）＜0．
          ∴g（x）在（0，1）單調增加，在（1，+∞）單調減少．
          ∴g（x）max=g（1）=0．
          ∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
          ∴
          1
          2
          f(x)≤x-1          ．
          點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，考查不等式的證明．解題要認真審題，注意導數性質和構造法的合理運用．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
          （1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
          		2
          ，求a的值；
          （2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
          （3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
          		2
          2
          ，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調函數．如果定義域為[0，+∞）的函數f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調函數，那么實數m的取值范圍是（　�。�
          
                
          A、[-5，5]
          B、[-
          		5
          ，
          		5
          ]
          C、[-
          		10
          ，
          		10
          ]
          D、[-
          		5
          2
          ，
          		5
          2
          ]
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•深圳一模）已知函數f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d          ，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
          （1）求f（x）；
          （2）設g(x)=x
          		f′(x)
           ， m＞0          ，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
          （3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
          ①f(-
          3
          4
          ) ＜f(
          15
          2
          )          ；
          ②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
          ③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
          ④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
          其中真命題的個數為（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：徐州模擬
				題型：解答題
			
          

						
          設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
          （1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
          		2
          ，求a的值；
          （2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
          （3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
          		2
          2
          ，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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