Question

某人居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖．（例如：A→C→D算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為

1

5

，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為

1

8

）
（1）請你為其選擇一條由A到B的最短路線（即此人只選擇從西向東和從南向北的路線），使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；
（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，利用相互獨(dú)立事件的概率公式做出各個路段堵車的概率，得到選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小．
（2）由題意知路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件的概率公式，寫出變量對應(yīng)的概率，做出期望值．

解答：解：（1）記路段MN發(fā)生堵車事件為MN．
∵各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，
∴路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁為
1-P（

.

AC

•

.

CD

•

.

DB

）=1-P（

.

AC

）•P（

.

CD

）•P（

.

DB

）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-

4

5

•

7

8

•

2

3

=

8

15

；（3分）
同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂為1-P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

1

2

（小于

8

15

）
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃為1-P（

.

AE

•

.

EF

•

.

FB

）=

5

8

（大于

8

15

）  
顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)ξ可取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

1

2

P（ξ=1）=P（AC•

.

CF

•

.

FB

）+P（

.

AC

•CF•

.

FB

）+P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）
=

1

5

•

3

4

•

5

6

+

4

5

•

1

4

•

5

6

+

4

5

•

3

4

•

1

6

=

47

120

P（ξ=2）=P（AC•CF•

.

FB

）+P（AC•

.

CF

•FB）+P（

.

AC

•CF•FB）
=

1

5

•

1

4

•

5

6

+

1

5

•

3

4

•

1

6

+

4

5

•

1

4

•

1

6

=

12

120

P（ξ=3）=P（AC•CF•FB）=

1

5

•

1

4

•

1

6

=

1

120

，
∴Eξ=0×

1

2

+1×

47

120

+2×

12

120

+3×

1

120

=

37

60

答：路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

37

60

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和相互獨(dú)立事件的概率，本題是一個易錯題，易錯點(diǎn)在題目中出現(xiàn)的道路情況比較多，需要仔細(xì)寫出不要出錯．