Question

（2011•東城區(qū)一模）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形．∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=

3

，AC與BD交于O點(diǎn)，E，H分別為PA，OC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：PH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)镋，O分別為PA，AC的中點(diǎn)，所以EO∥PC．由此能夠證明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）連接OP，因?yàn)镻B=PD，所以O(shè)P⊥BD．在菱形ABCD中，BD⊥AC，又因?yàn)镺P∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．由此能夠證明PH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）過點(diǎn)O作OZ∥PH，所以O(shè)Z⊥平面ABCD．以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OZ所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．得

AB

=(-

3

，1，0)，

AP

=(-

3 3

2

，0，

3

2

)，

CE

=(

5 3

4

，0，

3

4

)．設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PAB的一個(gè)法向量，由

n • AB =0 n • AP =0

，得

n

=(1，

3

，

3

)．由此能求出直線CE與平面PAB所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)镋，O分別為PA，AC的中點(diǎn)，
所以EO∥PC
又EO?平面BDE，PC?平面BDE．
所以PC∥平面BDE．
（Ⅱ）證明：連接OP，
因?yàn)镻B=PD，
所以O(shè)P⊥BD．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
又因?yàn)镺P∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．
又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．
在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以OP=

3

．
又PC=

3

，H為OC的中點(diǎn)，所以PH⊥OC．
又因?yàn)锽D∩OC=O
所以PH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：過點(diǎn)O作OZ∥PH，所以O(shè)Z⊥平面ABCD．
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OZ所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
可得，A(

3

，0，0)，B（0，1，0），C(-

3

，0，0)，
P(-

3

2

，0，

3

2

)，E(

3

4

，0，

3

4

)．
所以

AB

=(-

3

，1，0)，

AP

=(-

3 3

2

，0，

3

2

)，

CE

=(

5 3

4

，0，

3

4

)．
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PAB的一個(gè)法向量，
則

n • AB =0 n • AP =0

，即

- 3 x+y=0 - 3 3 2 x+ 3 2 z=0

，
令x=1，則

n

=(1，

3

，

3

)．．
設(shè)直線CE與平面PAB所成的角為θ，
sinθ=cos＜n，

CE

 ＞=

4

7

．
所以直線CE與平面PAB所成角的正弦值為

4

7

．

點(diǎn)評：本題考查直線和平面平行、直線和平面垂直的證明方法和求直線與平面在所成角的正弦值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．