Question

如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，則

xy

x+y

的值為

 

．

Answer 1

分析：由G為三角形的重心得到

AG

=

1

3

(

AB

+

AB

)，再結(jié)合

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，根據(jù)M，G，N三點(diǎn)共線，易得到x，y的關(guān)系式，即可得到結(jié)論．

解答：解：根據(jù)題意G為三角形的重心，
∴

AG

=

1

3

(

AB

+

AB

)，

MG

=

AG

-

AM

=

1

3

(

AB

+

AC

)-x

AB

=(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

，

GN

=

AN

-

AG

=y

AC

-

AG

=y

AC

-

1

3

(

AB

+

AC

)=(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

，
由于

MG

與

GN

共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)λ，使得

MG

=λ

GN

，
即(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

=λ[(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

]，
∴

1 3 -x=- 1 3 λ 1 3 =λ(y- 1 3 )

，
消去λ得x+y-3xy=0，
∴x+y=3xy，
即

xy

x+y

=

1

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，以及向量的基本定理和向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．