Question

在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2，如圖：

(1)求證：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；

(2)求(1)中兩個平行平面間的距離；

(3)求點B₁到平面A₁BC₁的距離.

Answer 1

（1）同解析 (2) 兩平行平面間的距離為. (3) B₁到平面A₁BC₁的距離等于.

解析:

.(1)證明：由于BC₁∥AD₁，則BC₁∥平面ACD₁

同理，A₁B∥平面ACD₁，則平面A₁BC₁∥平面ACD₁

(2)解：設兩平行平面A₁BC₁與ACD₁間的距離為d，則d等于D₁到平面A₁BC₁的距離.易求A₁C₁=5，A₁B=2，BC₁=，則cosA₁BC₁=,則sinA₁BC₁=,則S=,由于，則S·d=·BB₁,代入求得d=,即兩平行平面間的距離為.

(3)解：由于線段B₁D₁被平面A₁BC₁所平分，則B₁、D₁到平面A₁BC₁的距離相等，則由(2)知點B₁到平面A₁BC₁的距離等于.