Question

【題目】已知函數(shù)，

(1) 判斷的奇偶性并證明；

(2) 令

①判斷在的單調(diào)性（不必說(shuō)明理由）；

②是否存在，使得在區(qū)間的值域?yàn)?/span>？若存在，求出此時(shí)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）①單調(diào)遞減，②

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可證出．

(2) ①求出，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，在上單調(diào)遞減；②根據(jù)在上單調(diào)遞減，可以得到，然后轉(zhuǎn)化得出：和是方程的兩根，再將其轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)的圖象在

上有兩個(gè)交點(diǎn)，觀察圖象，可求出的取值范圍．

是奇函數(shù)；證明如下：

由解得或,

所以的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

,

故為奇函數(shù)．

，①在上單調(diào)遞減．

②假設(shè)存在，使在的值域?yàn)?/span>．

由知，在上單調(diào)遞減．

則有,．

所以,是方程在上的兩根，

整理得在有2個(gè)不等根和．

即 ，令，則，，

即直線(xiàn)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以， ．