Question

【題目】如圖,在四棱錐中，四邊形是平行四邊形, 且, , 平面.

（1）為棱的中點(diǎn),求證: 平面；

（2）求證: 平面平面；

（3）若, ,求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由四邊形是平行四邊形，可得為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，由三角形中位數(shù)定理可得，再由線面平行的判定可得平面；（2）由平面，得，再由，可得平面,進(jìn)一步得到平面平面；(3)由已知求出四邊形的面積，先求出高，再由棱錐的體積公式得答案.

試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),

所以 ,又因?yàn)?/span>平面,

所以平面.

（2）證明:因?yàn)?/span>平面,又平面

所以,又因?yàn)?/span>,

所以平面,又因?yàn)?/span>平面.

所以平面平面.

（3）因?yàn)?/span>,又,

所以四邊形的面積為4，

因?yàn)?/span>,點(diǎn)為的中點(diǎn),

所以.

所以四棱錐的體積為: .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理以及棱錐的體積公式，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.