Question

設(shè)函數(shù)滿足f（x）+f（-x）=0，且f（x）在[-2，2]是減函數(shù)，f（2）=-1，若函數(shù)f（x）≤t²+2ta+1對(duì)所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]時(shí)，則t的取值范圍是________．

Answer 1

解：因?yàn)閒（x）+f（-x）=0，所以f（x）為奇函數(shù)，
∵f（2）=-1，∴f（-2）=1．
∴f（x）的取值范圍為[-1，1]．
∵函數(shù)f（x）≤t²+2ta+1對(duì)所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]
∴t²+2ta+1對(duì)要大于等于f（x） 的最大值即為t²+2ta+1≥1
∴t²+2ta≥0
令g（a）=2ta+t²，則，即
∴t≥2或t≤-2
∴t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，∞）
故答案為：（-∞，-2）∪（2，∞）
分析：根據(jù)f（x）+f（-x）=0，f（2）=-1，確定f（x）的取值范圍；函數(shù)f（x）≤t²+2ta+1對(duì)所有x∈[-2，2]，a∈[-1，1]等價(jià)于t²+2ta+1≥1，即t²+2ta≥0，構(gòu)建一次函數(shù)g（a）=2ta+t²，從而可建立不等式，進(jìn)而可求t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為t²+2ta+1對(duì)要大于等于f（x） 的最大值，屬于中檔題．