Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

4

=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，曲線E是以橢圓中心為頂點(diǎn)，B為焦點(diǎn)的拋物線．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=

k

（x-2）與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)

AM

•

AN

≥68時(shí)，求直線l的傾斜角θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可求A，B進(jìn)而可求拋物線E的方程
（Ⅱ）聯(lián)立方程

y= k (x-2) y2=16x

得：kx²-（4k+16）x+4k=0，根據(jù)方程有兩個(gè)不等的根，結(jié)合韋達(dá)定理可得k的范圍，進(jìn)而可求θ的范圍

解答：解：（Ⅰ）依題意得：A（-4，0），B（4，0）
∴曲線E的方程為y²=16x．-------（2分）
（Ⅱ）由

y= k (x-2) y2=16x

得：kx²-（4k+16）x+4k=0
由

△=(4k+16)2-16k2＞0 k＞0

解得：k＞0----------（4分）
設(shè)設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則：
x1+x2=

4k+16

k

，x1x2=4
∴

AM

•

AN

=（x1+4，y1）（x2+4，y2）=（x1+4）（x2+4）+y1y2
=（k+1）x1x2+（4-2k）（x1+x2）+16+4k=

64

k

+4≥68----------（6分）
∴0＜k≤1，
∴θ∈（0，

π

4

]----------（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程，直線與拋物線方程的相交的處理中，要注意方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．