Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在x=-1處的切線與直線2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求所有的實數(shù)a，使得f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求a．（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求范圍．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在[-1，1]上的最小值即可．

解答：解：（1）由題意得f'（x）=3x²+2ax-（2a+3），所以f'（-1）=3-2a-（2a+3）=2，解得a=-

1

2

.4分
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），
由f'（x）=0，得x=1或x=-

2a+3

3

，因為f（x）在區(qū)間（1，+∞）上不單調(diào)，
所以-

2a+3

3

＞1，故a＜-3．
（3）因為f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立．所以當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）_min＞0，
①當(dāng)-

2a+3

3

≥1即時，a≤-3時，函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)遞增，
所以fmin?(x)=f(-1)=a2+3a+2＞0，解得a＞-1或a＜-2．
故a≤-3             11分
②當(dāng)-1＜-

2a+3

3

＜1，即-3＜a＜0時，
函數(shù)f（x）在[-1，-

2a+3

3

]上為增函數(shù)，在[-

2a+3

3

，1]上為減函數(shù)
所以f_min（x）=min{f（-1），f（1）}，
故

f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0

，所以a＞2或a＜-2，
所以-3＜a＜-2         13分
③當(dāng)-

2a+3

3

≤-1即a≥0，函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上為減函數(shù)，
所以fmin?(x)=f(1)=a2-a-2＞0
所以a＞2或a＜-1，
故a＞2
綜上所述，實數(shù)a得取值范圍為a＞2或a＜-2．              15分

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值問題，考查學(xué)生的運算能力，綜合性較強．