Question

已知命題p：方程

x2

3-t

+

y2

t+1

=1所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；命題q：實數a滿足不等式t²-（a-1）t-a＜0．
（1）若命題p為真，求實數t的取值范圍；
（2）若命題p是命題q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據焦點在x軸上橢圓的標準方程形式，得3-t＞t+1＞0，解此不等式組即可得到實數t的取值范圍．
（2）命題p是命題q的充分不必要條件，說明（1）中t的范圍對應集合是不等式t²-（a-1）t-a＜0的解集的子集，由此建立不等關系，可解出實數a的取值范圍．

解答：解（1）∵方程

x2

3-t

+

y2

t+1

=1所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓
∴

3-t＞0 t+1＞0 3-t＞t+1

，解之得：-1＜t＜1…（6分）
（2）∵命題q：實數滿足不等式t²-（a-1）t-a＜0，即（t+1）（t-a）＜0．
∴命題q為真命題，當a＞-1時，得到t∈（-1，a）；當a＜-1時，命題q為真命題得到t∈（a，-1）
∵命題P是命題q的充分不必要條件
∴集合{t|-1＜t＜1}是不等式t²-（a-1）t-a＜0解集的真子集…（9分）
由此可得a＞-1且（-1，1）

?

≠

（-1，a）
解之得：a＞1…（12分）

點評：本題給出橢圓的焦點在x軸上，求參數t的取值范圍并探求一個充分不必要條件，著重考查了橢圓的標準方程和充分必要條件的判斷等知識，屬于基礎題．