Question

某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．
（Ⅰ）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為ξ、η，ξ服從超幾何分布，η～B(3，

2

3

)，利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出；
（Ⅱ）分別從做對(duì)題的數(shù)學(xué)期望、從至少完成兩題的概率上考查即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)考生甲、乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為ξ、η，則ξ=1、2、3，η=0、1、2、3．
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（ξ=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

．
所以考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列為：
∴Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．
∵η～B(3，

2

3

)，所以考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列為：
P（η=k）=

C

k 3

(

2

3

)k(1-

2

3

)3-k（k=0，1，2，3），
∴Eη=3×

2

3

=2．
（Ⅱ）∵P（ξ≥2）=

3

5

+

1

5

=

4

5

，P（η≥2）=

12

27

+

8

27

=

20

27

．
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2），
從做對(duì)題的數(shù)學(xué)期望上甲乙兩人水平相當(dāng)；從至少完成兩題的概率上看，甲通過的可能性比較大，因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握超幾何分別、二項(xiàng)分布、數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．