Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面 ， ， ， ， ， ， ， 是 的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ， ．又 ，
∴ ， ， 兩兩垂直．
以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 分別為 軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ．
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）由已知得 是平面 的法向量，
設(shè)平面 的法向量為 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，令 ，得 ，
設(shè)平面 與平面 所成銳二面角的大小為 ，
則 ．
∴平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 ．
【解析】(1)根據(jù)題意即可證明EB、EF、EA兩兩垂直以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)EB、EF、EA分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量進(jìn)而得到即可得證 B D ⊥ E G 。(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面DEF和平面DEG的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值即可。