Question

如圖，在三棱錐中， 

（1）求證：平面⊥平面

（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

 （3）若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值為，求BM的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析      （2）.                （3）.  

【解析】（1）本題解決的關(guān)鍵是取線段AC中點(diǎn)O,利用等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)得OP⊥OC，OP⊥OB.由線面垂直的判定定理得OP⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理得平面⊥平面  .

（2）由（1）得OB、OC、OP兩兩垂直，可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用

 空間向量法求出平面PBC的法向量,再根據(jù)直線與平面所成角的向量法求解即可.

(3)在(2)的基礎(chǔ)上可知平面PAC的法向量,然后再求出平面PAM的法向量, 則根據(jù)這兩個(gè)法向量夾角的余弦值為為,求出直線AM的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出B點(diǎn)到AM的最小值.

（1）取AC中點(diǎn)O,因?yàn)锳P=BP，所以O(shè)P⊥OC  由已知易得三角形ABC為直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面       4分

（2）  以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ),    5分

∴設(shè)平面PBC的法向量，

由得方程組

，取                           6分

∴ 

∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.                             8分

（3）由題意平面PAC的法向量， 設(shè)平面PAM的法向量為 ∵又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821054285684745/SYS201207182106175756550608_DA.files/image017.png">

∴  取                      

∴  ∴             11分

∴B點(diǎn)到AM的最小值為垂直距離.