Question

已知數(shù)列{x_n}滿足xn+1-xn=(-

1

2

)n，n∈N*，且x1=1．設(shè)an=

3

4

xn-

1

2

，且T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n．
（Ⅰ）求x_n的表達式；
（Ⅱ）求T_2n；
（Ⅲ）若Qn=1-

3n+1

(2n+1)2

(n∈N*)，試比較9T_2n與Q_n的大小，并說明理由

Answer 1

分析：（I）由∵xn+1-xn=(-

1

2

)n，可用累加法求解；
（Ⅱ）由x_n求得a_n從而得到T_2n，觀察其結(jié)構(gòu)是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列積的形式，可用錯位相減法求解．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得9T2n=1-

3n+1

22n

.再與Q_n比較．

解答：解：（I）∵xn+1-xn=(-

1

2

)n，
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）++（x_n-x_n-1）
=1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2++(-

1

2

)n-1
=

1-(- 1 2 )2

1-(- 1 2 )

=

2

3

+

1

3

(-

1

2

)n-1（4分）
當n=1時上式也成立，∴xn=

2

3

+

1

3

(-

1

2

)n+1(n∈N*).（5分）
（Ⅱ）an=

3

4

xn-

1

2

=

1

4

(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n+1.
∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃++（2n-1）a_2n-1+2na_2n=(-

1

2

)2+2(-

1

2

)3+3(-

1

2

)4++(2n-1)(-

1

2

)2n+2n(-

1

2

)2n+1①
∴-

1

2

T2n=(

1

2

)3+2(-

1

2

)4+3(-

1

2

)3++(2n-1)(-

1

2

)2n+1+2n(-

1

2

)2n+2②
①-②，得

3

2

T2n=(-

1

2

)2+(-

1

2

)3++(-

1

2

)2n+1-2n(-

1

2

)2n+2（8分）
∴

3

2

T2n=

1 4 [1-(- 1 2 )2n]

1+ 1 2

-2n(-

1

2

)2n+2=

1

6

-

1

6

(-

1

2

)2n-

n

2

(-

1

2

)2n.T2n=

1

9

-

1

9

(-

1

2

)2n-

n

3

(-

1

2

)2n=

1

9

(1-

3n+1

22n

).（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得9T2n=1-

3n+1

22n

.
當n=1時，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，∴9T_2n＜Q_n；（11分）
當n=2時，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，∴9T_2n＜Q_n；（12分）
當n≥3時，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ）²＞（2n+1）²．∴9T_2n＞Q_n．
綜上所述，當n=1，2時，9T_2n＜Qn；當n≥3時，9T_2n＞Qn．（14分）

點評：本題主要考查累加法求數(shù)列通項，錯位相減法求和以及數(shù)列的比較滲透了不等式問題．