Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3tx+m（x∈R，m和t為常數(shù)）是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值和函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）求f（x）（x∈[0，1]）的最大值F（t）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，可求出m的值，令f（x）=0，討論t的取值范圍，分別求出方程的解，即為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而求出所求；
（Ⅱ）討論t的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)符合判定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[0，1]上的最值，從而求出f（x）（x∈[0，1]）的最大值F（t）．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，則m=0，
設(shè)f（x）=x³-3tx=x（x²-3t）=0，
①當(dāng)t＜0時(shí)，上述方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=0，
∴f（x）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；
②當(dāng)t=0時(shí)，上述方程有三個(gè)相等實(shí)數(shù)根x₁=x₂=x₃=0，
∴f（x）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；
③當(dāng)t＞0時(shí)，上述方程的解為x₁=0，x_2，3=±

3t

，
∴f（x）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），（

3t

，0），（-

3t

，0）．
綜合①②③，當(dāng)t＜0時(shí)，f（x）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
當(dāng)t=0時(shí)，f（x）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），（

3t

，0），（-

3t

，0）．
（Ⅱ）∵f（x）=x³-3tx，
∴f′（x）=3（x²-t），x∈[0，1]，
①當(dāng)t≤0時(shí)，f′（x）≥0，則f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴f（x）在x∈[0，1]上的最大值為F（t）=f（1）=1-3t；
②當(dāng)t＞0時(shí)，f′（x）=3（x+

t

）（x-

t

），
令f′（x）=0，則x₁=-

t

，x₂=

t

，
令f′（x）＞0，則x＜-

t

或x＞

t

，令f′（x）＜0，則-

t

＜x＜

t

，
列表如下：

x	（-∞，- t ）	- t	（- t ， t ）	t	（ t ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

又∵x∈[0，1]，
∴當(dāng)1≤

3t

，即t≥

1

3

時(shí)，f（x）在x∈[0，1]上的最大值為F（t）=f（0）=0，
當(dāng)

3t

＜1，即0＜t＜

1

3

時(shí)，f（x）在x∈[0，1]上的最大值為F（t）=f（1）=1-3t，
綜上所述，F(t)=

1-3t，t＜ 1 3 0，t≥ 1 3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．