Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，橢圓 過點(diǎn) ，直線 交 軸于 ，且 ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓 的方程；
（2）設(shè) 是橢圓 的上頂點(diǎn)，過點(diǎn) 分別作直線 交橢圓 于 兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率分別為 ，且 ，證明：直線 過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓 過點(diǎn) ，∴ ① ，

∵ ，∴ ，則 ，

∴ ②，由①②得 ，

∴橢圓 的方程為

（2）解：當(dāng)直線 的斜率不存在時 ，設(shè) ，則 ，由 得 ，得

當(dāng)直線 的斜率存在時，設(shè) 的方程為 ，

，

得 ，

，

即 ，

由 ，

即 ．

故直線 過定點(diǎn) ．

【解析】（1）由橢圓過已知點(diǎn)及向量的關(guān)系得到關(guān)于a,b,c的方程組求a,b,c。
（2）將直線方程設(shè)為y=kx+m,代入橢圓方程得方程組，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，用韋達(dá)定理將斜率和表示出來，得k,m的關(guān)系式，回代入直線方程中得直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)。