Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=x+2的圖象上
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項之和為S_n，求證

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜1．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)（a_n，a_n+1）代入直線方程可得a_n+1=a_n+2，則數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)首項為2，公比為2寫出通項公式即可；
（2）根據(jù)首項和公比寫出等差數(shù)列的前n項和的公式s_n，并表示出

1

sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，，利用拆項法把

1

n(n+1)

變?yōu)?span id="iaxex9k" class="MathJye">

1

n

-

1

n+1

，然后列舉出各項，抵消可得證．

解答：解：（1）點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=x+2的圖象上，∴a_n+1=a_n+2，
∴數(shù)列{a_n}是以首項為2公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）s_n=

(2n+2)n

2

=n（n+1），
則

1

sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1

點(diǎn)評：此題以一次函數(shù)為平臺，考查等差數(shù)列的通項公式及前n項的和，是一道中檔題．學(xué)生證明時應(yīng)注意運(yùn)用拆項法進(jìn)行化簡．