Question

已知向量

a

=（2cos²x，

3

），

b

=（1，sin2x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=1且f（A）=3，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積公式滑進(jìn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+

π

6

）+1，令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由 a=1且f（A）=3，求得A=

π

6

．再由余弦定理以及基本不等式求得 bc≤

a2

2(1-cosA)

，可得 S=

1

2

bc sinA≤

a2•sinA

4(1-cosA)

=

2+ 3

4

．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1，…（3分）
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
故 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．…（6分）
（Ⅱ）∵a=1且f（A）=3，∴sin（2A+

π

6

）=1，由于 0＜A＜π，即 A=

π

6

．
又 a²=b²+c²-2bc•cosA 及  b²+c²≥2bc，∴bc≤

a2

2(1-cosA)

，…（9分）
∴S=

1

2

bc sinA≤

a2•sinA

4(1-cosA)

=

2+ 3

4

，當(dāng)且僅當(dāng) b=c時，取“=”．
∴S的最大值為

2+ 3

4

．…（12分）

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的增區(qū)間，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．