Question

P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，|F₁F₂|=2c，過P作直線l：的垂線，垂足為Q，若PQF₁F₂是平行四邊形，則橢圓的離心率取值范圍是_    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意得，若PQF₁F₂是平行四邊形，如圖，由圖可知，橢圓上存在一點(diǎn)，使得它到左準(zhǔn)線的距離小于焦距即可，而橢圓上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離的最小值為左頂點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離，從而建立關(guān)于e的不等關(guān)系，求解即得橢圓的離心率取值范圍．
解答：解：若PQF₁F₂是平行四邊形，如圖，
由圖可知，橢圓上存在一點(diǎn)，使得它到左準(zhǔn)線的距離小于焦距即可，
而橢圓上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離的最小值為左頂點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離，即a-，
∴a-＜2c，
即：2c²+ac-a²＞0，
從而2e²+e-1＞0⇒e＞
又橢圓的離心率e＜1，
則橢圓的離心率取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．