Question

已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)，記直線的斜率分別為，當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）直線的方程為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，橢圓：的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形，所以，利用，可得，又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，從而得橢圓的方程；（Ⅱ）需分直線的斜率是否為0討論．①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則；②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，，直線的方程為，將代入，整理得．利用韋達(dá)定理列出．結(jié)合，，列出關(guān)于的函數(shù)，應(yīng)用均值不等式求其最值，從而得的值，最后求出直線的方程．

試題解析：（Ⅰ）由已知得（2分），又，∴橢圓方程為（4分）

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則；        6分

②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，，直線的方程為，

將代入，整理得．

則，．      8分

又，，

所以，=

 10分．

令，則

所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)． 由①②得，直線的方程為．13分．

考點(diǎn)：1．橢圓方程的求法；2．直線和橢圓位置關(guān)系中最值問題；3．均值不等式．