Question

【題目】已知圓，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線

（1）當(dāng)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求切線方程；

（2）求證：經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)線段長度最小時(shí)，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）點(diǎn)，可設(shè)切線方程為：，利用圓心到直線的距離為半徑可得，注意斜率不存在的直線也是圓的切線．

（2）設(shè)，過三點(diǎn)的圓的直徑為，利用圓的直徑式方程可得圓的一般方程，整理后可得圓過定點(diǎn)并能求得定點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）利用（2）的結(jié)論計(jì)算弦的方程，再計(jì)算到的距離后得到弦長與的關(guān)系式，由此可得弦長的最小值 ．

（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，符合；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，故，解得，

故切線方程為：，

綜上，過的切線方程為或．

（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，，

所以圓必過點(diǎn)且以為直徑，其方程為：

即，

整理得到：　　

由， 解得或，所以圓過定點(diǎn)．

（3）因圓方程為，

圓：即．

②－①得圓方程與圓相交弦所在直線方程為

，點(diǎn)到直線的距離，

相交弦長即．

當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，四邊形的面積．