Question

過(guò)點(diǎn)（0，-

1

2

)的直線l與拋物線y=-x²交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

OA

•

OB

的值為（　�。�

• A．-

  1

  2

• B．-

  1

  4

• C．-4
• D．無(wú)法確定

Answer 1

分析：法一：根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，可得A，B，求得

OA

•

OB

的值，結(jié)合選擇題的特點(diǎn)，得出結(jié)論．
法二：由拋物線y=-x²與過(guò)其焦點(diǎn)（0，-

1

2

）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達(dá)定理可以求得答案．

解答：解：法一：當(dāng)AB的斜率K=0時(shí)，可得A（-

2

2

，-

1

2

），B（

2

2

，-

1

2

）
∴

OA

•

OB

=（ -

2

2

，-

1

2

）•（

2

2

，-

1

2

）=-

1

2

+

1

4

=-

1

4

故選B
法二：，由題意可得直線AB的斜率存在
∴直線AB的方程為y=kx-

1

2

，
由

y=kx- 1 2 y=-x2

得x2+kx-

1

2

=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 x₁+x₂=-k，x1x2=-

1

2

∴y₁•y₂=（kx₁-

1

2

）•（kx₂-

1

2

）=k²x₁•x₂-

1

2

k（x₁+x₂）+

1

4

=

1

4

∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=-

1

2

+

1

4

=-

1

4

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，其中法一中，通過(guò)給變量取特殊值，檢驗(yàn)所給的選項(xiàng)，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，在此類對(duì)于參數(shù)K取任意值時(shí)所研究的對(duì)象取值不變的前提下，應(yīng)用特殊值法解決此類問題最有效，最直接，注意此方法的應(yīng)用的原理．