Question

已知

π

4

＜α＜β＜

π

2

，且sin(α+β)=

4

5

，cos(α-β)=

12

13

（1）用α+β，α-β表示2α；
（2）求cos2α，sin2α，tan2α的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)棣?β與α-β的和等于2α，所以可以利用α+β和α-β相加表示2α；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及角度的范圍，分別由sin（α+β）和cos（α-β）的值，求出cos（α+β）和sin（α-β）的值，然后利用（1）中找出的角的關(guān)系，利用兩角和的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cos2α、sin2α及tan2α的值．

解答：解：（1）2α=（α+β）+（α-β）；
（2）由

π

4

＜α＜β＜

π

2

，得到：

π

2

＜α+β＜π，-

π

4

＜α-β＜0，
則由sin（α+β）=

4

5

，得到cos（α+β）=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

；
由cos（α-β）=

12

13

，得到sin（α-β）=-

1- ( 12 13 )2

=-

5

13

，
所以sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=

4

5

×

12

13

+

3

5

×

5

13

=

63

65

，
cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=-

3

5

×

12

13

-

4

5

×（-

5

13

）=-

16

65

，
tan2α=

sin2α

cos2α

=-

63

16

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、兩角和的正弦、余弦函數(shù)公式化簡求值，是一道綜合題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意角度的范圍．