Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cos（x-

π

3

）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）-1的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（x-

π

3

）+

3

cos（x-

π

3

）=2sin[x-

π

3

）+

π

3

]=2sinx，…（3分）
∵y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

π

2

2kπ+

π

2

]，k∈z，
∴y=f（x）-1的單調(diào)增區(qū)間是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]k∈Z．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函數(shù)g（x）=（1+sinx）f（x）=2sin²x+2sinx．…（7分）
設(shè) t=sinx，當x∈R時，t∈[-1，1]，則h（t）=2t²+2t=2(t+

1

2

)2-

1

2

．…（9分）
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，h（t）的最小值為 h（-

1

2

）=-

1

2

，最大值為h（1）=4，…（11分）
則函數(shù)h（t）的值域為[-

1

2

，4]，故g（x）的值域為[-

1

2

，4]．…（12分）