Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x²+2（m-1）x+2m+6．
（Ⅰ）當(dāng)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試證明函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，且分別在區(qū)間（0，1）和（6，7）內(nèi)．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，必有f（0）=2m+6=1，
解得m=，故f（x）的解析式為f（x）=x²-7x+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x²-7x+1，
∵△=（-7）²-4=45＞0，∴方程x²-7x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴函數(shù)f（x）=x²-7x+1有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，
又因?yàn)閒（0）=1，f（1）=-5，f（6）=-5，f（7）=1
所以f（0）•f（1）＜0，f（，6）•f（7）＜0，
由零點(diǎn)的存在性定理可得：函數(shù)的零點(diǎn)分別在區(qū)間（0，1）和（6，7）內(nèi)．
分析：（Ⅰ）由f（0）=1，可建立關(guān)于m的方程，解之即可得f（x）的解析式；（Ⅱ）由△＞0，可得函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，再由零點(diǎn)的判斷定理可得他們分別在區(qū)間（0，1）和（6，7）內(nèi)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷定理，涉及函數(shù)解析式的求解，屬基礎(chǔ)題．