Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a是正整數(shù)），c≥1，a+b+c≥1，方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)小于1的不等正根，則a的最小值為

 

．

Answer 1

分析：將二次函數(shù)f（x）設(shè)成兩根式，根據(jù)條件建立關(guān)系式，將a分離出來，然后利用基本不等式求出最值即可．

解答：解：設(shè)f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q屬于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得
apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
兩式相乘有a²p（1-p）q（1-q）≥1，
即a²≥

1

p(1-p)q(1-q)

，
又由基本不等式易知
p（1-p）q（1-q）≤

1

16

由于上式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)p=q=

1

2

與已知矛盾，故上式的等號(hào)取不到，故
p（1-p）q（1-q）＜

1

16

因此得到a²＞16即a＞4
而函數(shù)f（x）=5x²-5x+1滿足題設(shè)的所有條件，因此a的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及根的分別問題，屬于基礎(chǔ)題．