Question

已知圓C：x²+y²=1，過點P（0，2）作圓C的切線，交x軸正半軸于點Q、若M（m，n）為線段PQ上的動點，則+的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫出相應的圖形，連接CN，由PQ與圓C相切，利用切線的性質(zhì)得到CN垂直于PQ，且CN等于圓C半徑，可得出CN為CP的一半，得到∠CPQ為30°，進而求出直線PQ的斜率，確定出直線PQ的解析式，由M為直線PQ上的點，將M（m，n）代入直線方程，用m表示出n，將所求式子利用基本不等式變形后，得到取等號時m與n的關系，將表示出的n代入求出m的值，進而得到n的值，即可確定出所求式子的最小值．
解答：解：根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示：
連接CN，
∵PQ與圓C相切，
∴CN⊥PQ，且CN=1，
又P（0，2），即CP=2，
∴在Rt△PCN中，CN=PC，
∴∠CPN=30°，
∴直線PQ的傾斜角為120°，即斜率k=-，
故直線PQ解析式為y=-x+2，
∴M（m，-m+2），
又+≥2，當且僅當=，即m=n時取等號，
∴m=（-m+2）=-3m+2，即m=，n=，
則+的最小值為2=4．
故答案為：4
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及基本不等式的應用，涉及的知識有：切線的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，直線傾斜角與斜率的關系，以及坐標與圖形性質(zhì)，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，且切線垂直于過切點的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關鍵．