Question

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b、c的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2x+b，利用當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值，建立方程，即可求得實(shí)數(shù)b、c的值；
（Ⅱ）存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，等價(jià)于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，分類討論，求出函數(shù)的最大值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2x+b
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值，
∴f′（）=-++b=0，f（）=-++c=，
∴b=0，c=0；
（Ⅱ）存在x∈[-1，2]，使得f（x）≥3a-7成立，等價(jià)于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立
由（Ⅰ）知，
①-1≤x＜1時(shí)，f′（x）=-3x（x-），函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減
∵f（-1）=2，f（）=，∴-1≤x＜1時(shí)，f（x）_max=2，；
②2≥x≥1時(shí)，f′（x）=，
1°、a＞0，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，f（x）_max=f（2）=aln2，
∴或，∴＜a≤或0＜a≤；
2°、a≤0，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞減，f（x）_max=f（1）=aln1=0，
∴2≥3a-7，∴a≤3，∴a≤0
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的絕對(duì)值，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．