Question

如圖，在四面體ABCD中，平面EFGH分別平行于棱CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）設(shè)，問(wèn)λ為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明四邊形EFGH是矩形．
（2）根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，然后求四邊形EFGH的面積．
解答：解：（1）證明：∵CD∥面EFGH，CD?平面BCD，
而平面EFGH∩平面BCD=EF．∴CD∥EF同理HG∥CD．∴EF∥HG
同理HE∥GF．∴四邊形EFGH為平行四邊形…（3分）
由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF（或其補(bǔ)角）為CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB．∴HE⊥EF．∴四邊形EFGH為矩形．…..（6分）
（2）解：由（1）可知在△ABD中EH∥AB，∴，所以EH=λb，
在△BCD中EF∥CD，∴，所以EF=a（1-λ）  …（8分）
又EFGH是矩形，故四邊形EFGH的面積S=a（1-λ）•λb，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1-λ，
即時(shí)等號(hào)成立，即E為BD的中點(diǎn)時(shí)，矩形EFGH的面積最大為ab…．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．