Question

【題目】已知奇函數(shù).

（1）試確定的值；

（2）判斷的單調(diào)性，并證明之

（3）若方程在上有解，求證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析;（3）見解析.

【解析】

試題分析：

(1)利用奇函數(shù)滿足，或者利用奇函數(shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)可求得.

(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論可得在上是增函數(shù).留言單調(diào)性的定義，任取，且，計(jì)算可得，即函數(shù)在上是增函數(shù).

(3)由題意，原問題即在上有解，則 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，，求解不等式則有.

試題解析：

（1）（定義法）∵是奇函數(shù)，

∴，

即，

化簡整理得.

∵，∴，即.

(特殊值法) ∵在上是奇函數(shù)，

∴，即.

∴.

（2）解: 在上是增函數(shù).證明如下：

由可知，.

任取，且，則.

∴ ，

∴函數(shù)在上是增函數(shù).

（3）證明：∵時(shí)，，

∴.

若方程，即在上有解，則

∵在上是增函數(shù)，

∴，

即，

∴，故.