Question

已知點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象上的兩點，若對于任意實數x₁，x₂，當x₁+x₂=0時，以P，Q為切點分別作函數f（x）的圖象的切線，則兩切線必平行，并且當x=1時函數f（x）取得極小值1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若M（t，g（t））是函數g（x）=f（x）+3x-3（1≤x≤6）的圖象上的一點，過M作函數g（x）圖象的切線，切線與x軸和直線x=6分別交于A，B兩點，直線x=6與x軸交于C點，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先由題意：f'（x）=3x²+2ax+b，根據f'（-x）=f'（x）恒成立知a=0，又由是題意得

3+2a+b=0 1+a+b+c=1

② ③

，結合由①②③得a，b，c．從而寫出函數f（x）的解析式；
（2）由（1）得：g（x）=f（x）+3x-3=x³（1≤x≤6）利用導數幾何求得g（x）在M處的切線方程，從而表示出△ABC的面積的函數解析式，利用導數研究其單調性，從而求得其最大值即可得出△ABC的面積的最大值．

解答：解：（1）由題意：f'（x）=3x²+2ax+b
且f'（-x）=f'（x）恒成立知a=0①
又由

f′(1)=0 f(1)=1

⇒

3+2a+b=0 1+a+b+c=1

② ③

由①②③得：a=0，b=-3，c=3，f（x）=x³-3x+3…（5分）
（2）g（x）=f（x）+3x-3=x³（1≤x≤6）
g（x）在M處的切線方程是：y-t³=3t²（x-t），
即y=3t²x-2t³（1≤t≤6）
令x=6可得：B（6，18t²-2t³），C（6，0）．
△ABC的面積S=

1

2

（6-

2

3

t）（18t²-2t³）=

2

3

t⁴-12t³+54t²，
S′=

8

3

t³-36t²+108t=

4

3

t（2t-9）（t-9），
令S′=0可得：t=

9

2

，t-=0（舍），t=9（舍），
∴S在[1，

9

2

]上為增函數，[

9

2

，6]上為減函數，
∴△ABC的面積的最大值為S（

9

2

）=

2187

8

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數在某點取得極值的條件、函數的解析式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．