Question

左焦點為F的雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)的右支上存在點A，使得直線FA與圓x²+y²=a²相切，則雙曲線C的離心率取值范圍是

(

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：利用直線FA與圓x²+y²=a²相切，可求得切線的斜率為

a

b

，再分析出切線AF的斜率小于漸進線y=

b

a

x的斜率

b

a

，即可求得雙曲線C的離心率取值范圍．

解答：解：設(shè)直線FA的方程為：y=k（x+c），∵直線FA與x²+y²=a²相切，
∴a=

|ck|

1+k2

，
∴a²+a²k²=c²k²，
∴b²k²=a²，又k＞0，
∴k=

a

b

，
∵切線與右支有交點A，則切線AF的斜率小于漸進線y=

b

a

x的斜率

b

a

，
即

a

b

＜

b

a

，
∴a²＜b²，又b²=c²-a²，
∴c²＞2a²．
∴e²=

c2

a2

＞2，
∴e＞

2

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，分析出切線AF的斜率小于漸進線y=

b

a

x的斜率

b

a

是關(guān)鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．