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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          經過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點、在軌跡上,且關于軸對稱,過線段(兩端點除外)上的任意一點作直線,使直線與軌跡在點處的切線平行,設直線與軌跡交于點、

          (1)求軌跡的方程;

          (2)證明:

          (3)若點到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.

           

          【答案】

          (1);(2)詳見解析;(3).

          【解析】

          試題分析:(1)方法1是利用直接法,設動點坐標為,根據題中條件列式并化簡進而求出動點的軌跡方程;方法2是將問題轉化為圓心到定點的距離等于點到定直線的距離,利用拋物線的定義寫出軌跡的方程;(2)由于軸,利用直線與直線的斜率互為相反數證明;(3)方法1是先將的方程與拋物線的方程聯立求出點的坐標,并根據一些幾何性質求出,并將的面積用點的坐標表示以便于求出點的坐標,結合點的坐標求出直線的方程;方法2是利用(2)中的條件與結論,利用直線確定點和點坐標之間的關系,借助弦長公式求出、,并將的面積用點的坐標表示以便于求出點的坐標,結合點的坐標求出直線的方程.

          試題解析:(1)方法1:設動圓圓心為,依題意得,.        1分

          整理,得.所以軌跡的方程為.                   2分

          方法2:設動圓圓心為,依題意得點到定點的距離和點到定直線的距離相等,

          根據拋物線的定義可知,動點的軌跡是拋物線.                    1分

          且其中定點為焦點,定直線為準線.

          所以動圓圓心的軌跡的方程為.    2分

          (2)由(1)得,即,則

          設點,由導數的幾何意義知,直線的斜率為

          .          3分

          由題意知點.設點,,

          ,

          .                  4分

          因為.           5分

          由于,即.         6分

          所以.                               7分

          (3)方法1:由點的距離等于,可知.            8分

          不妨設點上方(如圖),即,直線的方程為:

          解得點的坐標為.                       10分

          所以

          由(2)知,同理可得.            11分

          所以△的面積,

          解得.                                   12分

          時,點的坐標為,

          直線的方程為,即.                13分

          時,點的坐標為,,

          直線的方程為,即.               14分

          方法2:由點的距離等于,可知.             8分

          由(2)知,所以,即

          由(2)知,

          所以

          .        ①

          由(2)知.           ②

          不妨設點上方(如圖),即,由①、②解得          10分

          因為,

          同理.                               11分

          以下同方法1.

          考點:直接法求軌跡方程,拋物線的定義,函數圖象的切線方程的求解,斜率公式、弦長公式

           

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