Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+asinxcosx+bcos²x（x∈R），且f(0)=3，f(

π

6

)=

5+ 3

2

．
（1）求該函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（1）直接利用f(0)=3，f(

π

6

)=

5+ 3

2

，得到方程組，求出a，b，通過(guò)二倍角浪跡花都正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為 一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)周期公式求該函數(shù)的最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)左加右減的原則，先平移然后伸縮變換，即可變換為所求函數(shù)的圖象．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）函數(shù)f（x）=sin²x+asinxcosx+bcos²x（x∈R），
且f(0)=3，f(

π

6

)=

5+ 3

2

．
所以

f(0)=3 f( π 6 )= 5+ 3 2

得：

b=3 1 4 + 3 4 a+ 3 4 b= 5+ 3 2

，
解得：

b=3 a=2

，…（2分）
∴f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=sin2x+2cos²x+1
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，…（5分）
∴T=

2π

2

=π，即函數(shù)的最小正周期為π．…（6分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ (k∈z)
得：

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ (k∈z)；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ] (k∈z)．…（8分）
（2）函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)下列變換得到：
①將y=sinx的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位得到y=sin(x+

π

4

)的圖象；…（9分）
②將y=sin(x+

π

4

)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

（縱坐標(biāo)不變）
得到y=sin(2x+

π

4

)的圖象；…（10分）
③將y=sin(2x+

π

4

)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的

2

（橫坐標(biāo)不變）
得到y=

2

sin(2x+

π

4

)的圖象；…（11分）
④將y=sin(2x+

π

4

)的圖象向上平移2個(gè)單位得到y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的圖象．…（12分）
（其它解法評(píng)分參照?qǐng)?zhí)行）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移，與伸縮變換，考查計(jì)算能力．