Question

已知a，b∈R⁺，a+b=1
求證：ln(a+

1

a

)+ln(b+

1

b

)≥2ln5-2ln2．

Answer 1

分析：先證明ab≤

1

4

，再證明

2

ab

+ab-2≥

25

4

，最后兩邊取對(duì)數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答：證明：∵a，b∈R⁺，a+b=1，∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

時(shí)，等號(hào)成立）
∵(a+

1

a

)(b+

1

b

)=ab+

1

ab

+

b

a

+

a

b

=

2

ab

+ab-2，ab≤

1

4

∴構(gòu)造函數(shù)f（x）=

2

x

+x（x≤

1

4

）
∵x≤

1

4

，∴f′(x)=1-

2

x2

＜0
∴函數(shù)f（x）=

2

x

+x在（0，

1

4

]上單調(diào)遞減
∴x=

1

4

時(shí)，函數(shù)取得最小值

33

4

 
∴f（x）≥

33

4

  
∴

2

ab

+ab-2≥

25

4

∴(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥

25

4

∴ln(a+

1

a

)+ln(b+

1

b

)≥2ln5-2ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．