【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
： 
的離心率
，左頂點為
，過點
作斜率為
的直線
交橢圓
于點
，交
軸于點
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知
為
的中點，是否存在定點
，對于任意的
都有
，若存在，求出點
的
坐標；若不存在說明理由；
（3）若過
點作直線
的平行線交橢圓
于點
，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
．
【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點，求出
， 
，由此能求出橢圓
的標準方程；（2）直線l的方程為
，與橢圓聯(lián)立，得， 
，由此利用韋達定理、直線垂直，結合題意能求出結果；（3）由
,可設
的方程為
，與橢圓聯(lián)立方程得
點的橫坐標，由
，結合基本不等式即可求出最小值.
試題解析：（1）∵左頂點為
∴
又∵
∴
又∵
∴橢圓
的標準方程為
．
（2）直線
的方程為
，由
消元得
化簡得， 
，則
當
時， 
，
∴
∵點
為
的中點
∴點
的坐標為
，則
.
直線
的方程為
，令
，得點
的坐標為
，假設存在定點
使得
,則
，即
恒成立，
∴
恒成立
∴
即
∴定點
的坐標為
.
（3）∵
∴
的方程可設為
，由
得
點的橫坐標為
由
，得
，
當且僅當
即
時取等號，
∴當
時， 
的最小值為
．
應用題天天練四川大學出版社系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：
零件的個數(shù) |
|
|
|
|
加工的時間 |
|
|
|
|
（1）在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）求出
關于
的線性回歸方程
.
（3）試預測加工
個零件需要多少時間？
附錄：參考公式：
，
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設函數(shù)
是定義在
上的偶函數(shù)，當
時， 
）.
（1）當
時，求
的解析式；
（2）若
，試判斷
的上單調性，并證明你的結論；
（3）是否存在
，使得當
時， 
有最大值
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
有兩個極值點
， 
（
）．
（1）求實數(shù)
的取值范圍；
（2）設
，若函數(shù)
的兩個極值點恰為函數(shù)
的兩個零點，當
時，求
的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在等腰
中， 
，腰長為
， 
、
分別是邊
、
的中點，將
沿
翻折，得到四棱錐
，且
為棱
中點， 
．
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）在線段
上是否存在一點
，使得
平面
？若存在，求二面角
的余弦值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分13分）甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓，現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；
（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從統(tǒng)計學的角度（在平均數(shù)、方差或標準差中選兩個）考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知
、
、
為實數(shù)，
，
，記集合
，
，則下列命題為真命題的是（ ）
A.若集合
的元素個數(shù)為2，則集合
的元素個數(shù)也一定為2
B.若集合的元素個數(shù)為2，則集合的元素個數(shù)也一定為2
C.若集合的元素個數(shù)為3，則集合的元素個數(shù)也一定為3
D.若集合的元素個數(shù)為3，則集合的元素個數(shù)也一定為3
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在點
處的切線與直線
平行，且函數(shù)
有兩個零點.
（1）求實數(shù)
的值和實數(shù)
的取值范圍；
（2）記函數(shù)
的兩個零點為
，求證： 
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）.
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