Question

在長方體ABCD-A₁B₁C_lD_l中，已知AB=4，BC=2，CC_l=5，E，F(xiàn)分別是CD，CC_l上的點，A₁F⊥平面BEF，
（I）求CE，CF的長；
（Ⅱ）若CF＞2，求二面角A₁-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意畫出一圖形，因A₁F⊥平面BEF，進而得到A₁F⊥BE，在有線線垂直的到相似的三角形，得到CE與CE的長度；
（II）利用圖形利用二面角平面角的概念找到二面角的平面角，在三角形中求解出二面角的三角函數(shù)值．

解答：解：由題意做出圖形：
（I）連接AC，D₁F，
∵A₁F⊥平面BEF，∴A₁F⊥BE，
又BE⊥CF∴BE⊥平面A₁ACF，
∴BE⊥AC∴△BCE∽△ABE，
∴

CE

2

=

2

4

?CE=1
∵EF⊥A₁F，EF⊥A₁D₁，EF⊥平面A₁D₁F∴EF⊥D₁F∴

1

CF

=

5-CF

4

?CFCE=1或4
（II）∵CF＞2∴CF=4  設AC與BE交與點G，則AG⊥BE，F(xiàn)G⊥BE∴∠A₁GF就是A₁-BE-F的平面角AG=

8

5

，CG=

2

5

，A1G=

3 21

5

，F(xiàn)G=

2 21

5

∴cos∠A₁GF=

FG

A1G

=

2

3

∴二面角A₁-BE-F的余弦值為

2

3

．
故答案為：（I）CE=1，CF=1或4，（II）

2

3

．

點評：此題重點考查了利用線線垂直判斷線面垂直進而得到線線垂直，還考查了利用三角形的相似解出線段長度，此外在第二問中�？疾榱死�用二面角的平面角的概念找出二面角的平面角，及在三角形中解出平面角的大小．