Question

經(jīng)過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡方程是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁+y₂，進(jìn)而求得焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，消去參數(shù)k，則焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡方程可得．

解答：解：由題知拋物線焦點(diǎn)為（1，0）
直線斜率存在時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦方程為y=k（x-1），代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達(dá)定理：x₁+x₂=

2k2+4

k2

，所以中點(diǎn)橫坐標(biāo)：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直線方程，中點(diǎn)縱坐標(biāo)：y=k（x-1）=

2

k

．即中點(diǎn)為（

k2+2

k2

，

2

k

）
消參數(shù)k，得其方程為y²=2x-2
直線斜率不存在時(shí)，（1，0）也滿足方程．
故答案為：y²=2x-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．涉及弦的中點(diǎn)的時(shí)候，常需要把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求．