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        1. 已知函數(shù)f(x)=x2-2elnx.(e為自然對(duì)數(shù)的底)
          (Ⅰ)求f(x)的最小值;
          (Ⅱ)是否存在常數(shù)a,b使得x2≥ax+b≥2elnx對(duì)于任意的正數(shù)x恒成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,說(shuō)明理由.
          分析:(Ⅰ)要求函數(shù)的最小值,需要求出導(dǎo)函數(shù)并令其等于零得到x=1,然后分區(qū)間x<1和x>1,討論函數(shù)的增減性來(lái)判斷函數(shù)的極值,得到函數(shù)的最小值即可.
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),有f(x)≥f(
          e
          )=0
          ,x2≥2elnx,則兩曲線(xiàn)y=x2,y=2elnx有唯一公共點(diǎn)(
          e
          ,e)
          .若存在a,b,則直線(xiàn)y=ax+b是曲線(xiàn)y=x2和y=2elnx的公切線(xiàn),切點(diǎn)為(
          e
          ,e)
          ,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷
          解答:(Ⅰ)解:由f(x)=x2-2elnx,得f′(x)=2x-
          2e
          x
          (x>0).
          令f'(x)=0,得x2=e,所以x=
          e
          .(2分)
          當(dāng)0<x<
          e
          時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在(0,
          e
          )
          內(nèi)是減函數(shù);
          當(dāng)x>
          e
          時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(
          e
          ,+∞)
          內(nèi)是增函數(shù).(2分)
          故函數(shù)f(x)在x=
          e
          處取得最小值f(
          e
          )=0
          .(2分)
          (Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),有f(x)≥f(
          e
          )=0
          ,
          即x2≥2elnx,當(dāng)且僅當(dāng)x=
          e
          時(shí),等號(hào)成立.
          即兩曲線(xiàn)y=x2,y=2elnx有唯一公共點(diǎn)(
          e
          ,e)
          .(3分)
          若存在a,b,則直線(xiàn)y=ax+b是曲線(xiàn)y=x2和y=2elnx的公切線(xiàn),切點(diǎn)為(
          e
          ,e)
          .(2分)
          由(x2)'=2x,得直線(xiàn)y=ax+b的斜率為a=2
          e

          又直線(xiàn)y=ax+b過(guò)點(diǎn)(
          e
          ,e)
          ,所以e=2
          e
          e
          +b
          ,得b=-e.
          故存在a=2
          e
          ,b=-e,使得x2≥ax+b≥2elnx對(duì)于任意正數(shù)x恒成立.(3分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,研究函數(shù)的最值問(wèn)題.考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力,建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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