Question

求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅰ）求以橢圓

x2

13

+

y2

3

=1的焦點為焦點，以直線y=±

1

2

x為漸近線
（Ⅱ）雙曲線的兩條對稱軸是坐標(biāo)軸，實軸長是虛軸長的一半，且過點（3，2）

Answer 1

分析：（I）由橢圓

x2

13

+

y2

3

=1可得c=

13-3

=

10

，得到焦點(±

10

，0)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），可得a2+b2=(

10

)2=10．又

b

a

=

1

2

．聯(lián)立解得即可．
（II）由題意可知：焦點在x軸上．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由于實軸長是虛軸長的一半，且過點（3，2）．可得

b=2a 9 a2 - 4 b2 =1

，解得即可．

解答：解：（I）由橢圓

x2

13

+

y2

3

=1可得c=

13-3

=

10

，得到焦點(±

10

，0)．
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），∴a2+b2=(

10

)2=10．
又

b

a

=

1

2

．聯(lián)立

a2+b2=10 a=2b

，解得

a2=8 b2=2

．
因此所求的雙曲線的方程為：

x2

8

-

y2

2

=1．
（II）由題意可知：焦點在x軸上，
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵實軸長是虛軸長的一半，且過點（3，2）．
∴

b=2a 9 a2 - 4 b2 =1

，解得

a2=8 b2=32

，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

-

y2

32

=1．

點評：本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．