Question

已知{a_n}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）等比數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₁，b₂=a₂-1，若數(shù)列c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，d＞0，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)表示已知，求解出d，a₁，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)即可求解
（Ⅱ）由b₁=1，b₂=2可求bn=2n-1，cn=an•bn=(2n-1)•2n-1，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)，考慮利用錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題設(shè)d＞0    
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16              ①---------------（1分）
由a₃a₆=55得（a₁+2d）（a₁+5d）=55         ②---------------（2分）
由①得2a₁=16-7d將其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220
∴d²=4，又d＞0
∴d=2，代入①得a₁=1，---------------（3分）
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．------------------（4分）
（Ⅱ）b₁=1，b₂=2
∴bn=2n-1
∴cn=an•bn=(2n-1)•2n-1，---------------（5分）
Sn=1•20+3•21+…+(2n-1)•2n-1
2Sn=1•21+3•22+…+(2n-1)•2n---------------（6分）
兩式相減可得：-Sn=1•20+2•21+2•22+…+2•2n-1-(2n-1)•2n
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ
∴-Sn=1+

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n=1+2n+1-4-(2n-1)•2n=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）•2ⁿ---------------（7分）
∴Sn=3+(2n-1)•2n-2n+1=3+(2n-3)•2n---------------（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用首項(xiàng)及公差表示等差數(shù)列的項(xiàng)，解答此類問題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和的難點(diǎn)．