Question

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1．
（1）設(shè)集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是3×5，滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，寫出滿足條件的結(jié)果，得到概率．
（2）本題是一個等可能事件的概率問題，根據(jù)第一問做出的函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對應(yīng)的區(qū)域，做出面積，得到結(jié)果．
解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
∵試驗發(fā)生包含的事件是3×5=15，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
當且僅當a＞0且，即2b≤a
若a=1則b=-1，若a=2則b=-1，1；若a=3則b=-1，1；
∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5
∴所求事件的概率為．

（2）由（Ⅰ）知當且僅當2b≤a且a＞0時，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分
由得交點坐標為，
∴所求事件的概率為．
點評：古典概型和幾何概型是我們學(xué)習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．